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在数学中，等價關係（英語：Equivalence relation）是具有自反性，对称性，传递性的二元关系。等价关系也称为同值關係。一些等价关系的例子包括整数集上的同余，. 歐幾里得几何中的等量（英語：Equipollence），以及普通的相等关系。
集合
A
{\displaystyle A}
上的每个等价关系都提供了一个
A
{\displaystyle A}
的划分，将
A
{\displaystyle A}
划分为不相交的等价类。
A
{\displaystyle A}
中的两个元素等价当且仅当它们属于同一等价类。
目录
1 定义
2 事例
2.1 等价关系的例子
2.2 不是等价关系的关系的例子
3 参见
4 參考文獻
5 外部連結
定义
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若集合
A
{\displaystyle A}
上的二元关系
R
{\displaystyle R}
满足以下條件：
自反性：
∀
x
∈
A
,
x
R
x
{\displaystyle \forall x\in A,~~xRx}
对称性：
∀
x
,
y
∈
A
,
x
R
y
⟹
y
R
x
{\displaystyle \forall x,y\in A,~~xRy~~\implies ~~yRx}
传递性：
∀
x
,
y
,
z
∈
A
,
(
x
R
y
∧
y
R
z
)
⟹
x
R
z
{\displaystyle \forall x,y,z\in A,~~~(xRy~~\wedge ~~yRz)~~\implies ~~xRz}
则称
R
{\displaystyle R}
是一個定义在
A
{\displaystyle A}
上的等价关系。習慣上會把等價關係的符號由
R
{\displaystyle R}
改寫為
∼
{\displaystyle \sim }
。
事例
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等价关系的例子
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例如，设
A
=
{
1
,
2
,
…
,
8
}
{\displaystyle A=\{1,2,\ldots ,8\}}
，定义
A
{\displaystyle A}
上的关系
R
{\displaystyle R}
如下：
x
R
y
⟺
∀
x
,
y
∈
A
,
x
≡
y
(
mod
3
)
{\displaystyle xRy\iff \forall x,y\in A,~x\equiv y{\pmod {3}}}
其中
x
≡
y
(
mod
3
)
{\displaystyle x\equiv y{\pmod {3}}}
叫做
x
{\displaystyle x}
与
y
{\displaystyle y}
模3同餘，即
x
{\displaystyle x}
除以3的餘数与
y
{\displaystyle y}
除以3的餘数相等。例子有1R4, 2R5, 3R6。不难验证
R
{\displaystyle R}
为
A
{\displaystyle A}
上的等价关系。
并非所有的二元關係都是等價關係。一個簡單的反例是比較兩個數中哪個較大：
沒有自反性：任何一個數不能比自身為較大（
n
≯
n
{\displaystyle n\ngtr n}
）
沒有對稱性：如果
m
>
n
{\displaystyle m>n}
，就肯定不能有
n
>
m
{\displaystyle n>m}
不是等价关系的关系的例子
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实数之间的"≥"关系满足自反性和传递性，但不满足对称性。例如，7 ≥ 5 无法推出 5 ≥ 7。它是一种全序关系。
参见
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当且仅当
等价类
集合划分
商集
分离关系（英语：Apartness relation）
共轭类
等距
拓扑共轭性（英语：Topological conjugacy）
Up to
參考文獻
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Brown, Ronald, 2006. Topology and Groupoids. Booksurge LLC. ISBN 1-4196-2722-8.
Castellani, E., 2003, "Symmetry and equivalence" in Brading, Katherine, and E. Castellani, eds., Symmetries in Physics: Philosophical Reflections. Cambridge Univ. Press: 422-433.
Robert Dilworth（英语：Robert Dilworth） and Crawley, Peter, 1973. Algebraic Theory of Lattices. Prentice Hall. Chpt. 12 discusses how equivalence relations arise in lattice theory.
Higgins, P.J., 1971. Categories and groupoids. （页面存档备份，存于互联网档案馆） Van Nostrand. Downloadable since 2005 as a TAC Reprint.
John Randolph Lucas（英语：John Lucas (philosopher)）, 1973. A Treatise on Time and Space. London: Methuen. Section 31.
Rosen, Joseph (2008) Symmetry Rules: How Science and Nature are Founded on Symmetry. Springer-Verlag. Mostly chpts. 9,10.
Raymond Wilder（英语：Raymond Wilder） (1965) Introduction to the Foundations of Mathematics 2nd edition, Chapter 2-8: Axioms defining equivalence, pp 48–50, John Wiley & Sons.
外部連結
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Hazewinkel, Michiel (编), Equivalence relation, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
Bogomolny, A., "Equivalence Relationship （页面存档备份，存于互联网档案馆）" cut-the-knot. Accessed 1 September 2009
Equivalence relation at PlanetMath
Binary matrices representing equivalence relations （页面存档备份，存于互联网档案馆） at OEIS.